24-летний экс-полузащитник азербайджанского клуба «Габала» и сборной Грузии Ника Квеквескири родился в городе Зугдиди. Здесь прошел футбольную школу местного клуба «Баия» и в 2009 году начал свою профессиональную карьеру. В этом же году он был включен в юношескую национальную сборную Грузии.
Спустя год Квеквескири дебютировал в главном клубе страны — тбилисском «Динамо», выступая как в основном так и дублирующем составах клуба. В его игровой карьере грузинского периода также значатся «Цхинвали» и «Дила».
С 2015 года перешел в чемпионат Азербайджана, где защищал цвета бакинского «Интера» и до последнего времени «Габалы». Также Ника является действующим игроком сборной Грузии.
Как раз со сборной Грузии и произошли первые контакты Ники с Казахстаном. В 2016 году состоялся товарищеский матч сборных Грузии и Казахстана. При этом грузинскую команду номер 1 на матч вывел экс-рулевой «Кайрата» Владимир Вайсс. Ника Квеквескири в этом матче вышел на поле на 78 минуте и успел в боевой товарищеской обстановке познакомиться с нынешними игроками «Тобола» Сергеем Малым, Алексеем Щеткиным и Асхатом Тагыбергеном.
Добавим, матч 2016 года закончился со счетом 1:1.
Ника Квеквескири подписал контракт с костанайским клубом сроком на 1,5 года.