Бауыржан один из казахстанских футболистов, имеющих в своем портфолио опыт выступлений за зарубежные клубы.
Начинал профессиональную карьеру в команде «Жетысу-Сункар» (Талдыкорган). Под флагом этой команды впервые встретился с «Тоболом» в 2012 году. Знакомство было недолгим — против костанайского клуба сыграл 13 минут. Затем в карьере футболиста был семский «Спартак», «Раднички» (Сербия) и «Жетысу».
В июне 2016 года, подписав контракт на 3,5 года, перешёл в алматинский «Кайрат». На поле за алматинцев вышел 23 июня в победном матче с «Астаной», а 7 июля открыл счёт голам в Лиге Европы, забив гол албанской «Теуте». До конца сезона выступил в 9 матчах чемпионата и помог клубу завоевать серебряные медали.
В сезоне 2017 года провёл 14 игр в чемпионате и забил 5 голов, в Кубке провел 4 матча. Не вписался в схему игры испанца Карлоса Феррера и остаток сезона провел в Первой лиге, выступая за «Кайрат А»… и сборную Казахстана.
В заключительном матче отбора к чемпионату мира-2018 с Арменией забил гол, который свел игру к ничьей.